C++ 标准库 ：轻松玩转复数运算
你有没有在数学课上见过虚数单位 i？它满足 i² = -1，这在实数范围内是“不可能”的。但正是这个“不可能”，让复数在信号处理、电磁场分析、量子力学等领域大放异彩。而在 C++ 中，我们无需手动实现复数的加减乘除，因为标准库已经为我们准备好了强大的工具——<complex>。
<complex> 是 C++ 标准库中的一个头文件，它提供了对复数类型的支持，让开发者能够以非常直观的方式操作复数。无论是做图像处理中的傅里叶变换，还是模拟电路中的阻抗计算，<complex> 都能让你事半功倍。
想象一下：你正在写一个音频滤波器程序，需要对频域数据进行相位调整。这时候，用实数根本无法表达相位信息，但复数可以。<complex> 就像一个专业的“复数管家”，帮你处理所有复杂的运算细节。
复数类型与基本语法
在 C++ 中，<complex> 提供了三种主要的复数类型：
std::complex<float>：使用 float 类型表示实部和虚部std::complex<double>：使用 double 类型，精度更高（默认选择）std::complex<long double>：使用 long double，适合极高精度需求
这些类型都定义在 std:: 命名空间中，使用时需要包含头文件 <complex>。
#include <iostream>
#include <complex>
int main() {
// 创建一个复数：3 + 4i
std::complex<double> z1(3.0, 4.0);
// 也可以只给实部，虚部默认为 0
std::complex<double> z2(5.0);
// 输出复数，会自动显示为 (实部, 虚部)
std::cout << "z1 = " << z1 << std::endl; // 输出: (3, 4)
std::cout << "z2 = " << z2 << std::endl; // 输出: (5, 0)
return 0;
}
💡 小贴士：
std::complex的构造函数接受两个参数：第一个是实部，第二个是虚部。如果只传一个参数，虚部默认为 0。
复数的基本运算
<complex> 支持所有常见的复数运算，包括加法、减法、乘法和除法。这些运算都遵循复数的数学规则。
#include <iostream>
#include <complex>
int main() {
std::complex<double> a(1.0, 2.0); // 1 + 2i
std::complex<double> b(3.0, -1.0); // 3 - i
// 加法：(1+2i) + (3-i) = 4 + i
std::complex<double> sum = a + b;
std::cout << "a + b = " << sum << std::endl; // 输出: (4, 1)
// 减法：(1+2i) - (3-i) = -2 + 3i
std::complex<double> diff = a - b;
std::cout << "a - b = " << diff << std::endl; // 输出: (-2, 3)
// 乘法：(1+2i) * (3-i) = 3 - i + 6i - 2i² = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i
std::complex<double> product = a * b;
std::cout << "a * b = " << product << std::endl; // 输出: (5, 5)
// 除法：(1+2i) / (3-i) = (1+2i)(3+i) / (9+1) = (3+i+6i+2i²)/10 = (1+7i)/10
std::complex<double> quotient = a / b;
std::cout << "a / b = " << quotient << std::endl; // 输出: (0.1, 0.7)
return 0;
}
✅ 关键点：复数乘法中会涉及 i² = -1，
<complex>内部会自动处理这个规则，无需手动计算。
复数的几何意义：模与幅角
复数在复平面上可以看作一个点，或者一条从原点出发的向量。它的“长度”叫模（magnitude），与正实轴的夹角叫幅角（argument）。
- 模：
|z| = √(a² + b²) - 幅角：
θ = atan2(b, a)，注意使用atan2而不是atan，因为它能正确判断象限
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cmath>
int main() {
std::complex<double> z(3.0, 4.0); // 3 + 4i
// 计算模
double magnitude = std::abs(z);
std::cout << "|z| = " << magnitude << std::endl; // 输出: 5
// 计算幅角（单位：弧度）
double angle = std::arg(z);
std::cout << "arg(z) = " << angle << " 弧度" << std::endl; // 输出: ~0.927 弧度
// 也可以转换为角度
double angle_deg = angle * 180.0 / M_PI;
std::cout << "arg(z) = " << angle_deg << " 度" << std::endl; // 输出: ~53.13 度
return 0;
}
🌟 比喻：你可以把复数想象成一个指南针。实部是东西方向，虚部是南北方向。模就是你走的总距离，幅角就是你指的方向。
常用数学函数支持
<complex> 不仅支持基本运算，还提供了完整的数学函数库，比如幂函数、指数、对数、三角函数等。
这些函数都重载了复数版本，可以直接用于 std::complex 类型。
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cmath>
int main() {
std::complex<double> z(0.0, 1.0); // i
// 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + i sinθ
// 当 θ = π 时，e^(iπ) = -1
std::complex<double> exp_result = std::exp(z * std::acos(-1.0)); // e^(iπ)
std::cout << "e^(iπ) = " << exp_result << std::endl; // 输出: (-1, 0)
// 计算 i 的平方
std::complex<double> square = z * z;
std::cout << "i^2 = " << square << std::endl; // 输出: (-1, 0)
// 计算 ln(i)
std::complex<double> log_result = std::log(z);
std::cout << "ln(i) = " << log_result << std::endl; // 输出: (0, 1.5708)
// 三角函数：sin(i)
std::complex<double> sin_result = std::sin(z);
std::cout << "sin(i) = " << sin_result << std::endl; // 输出: (0, 1.1752)
return 0;
}
⚠️ 注意：复数的对数和三角函数结果也是复数，不要期望得到“纯实数”结果。
实际应用：信号相位偏移
让我们看一个真实场景：音频信号处理中，经常需要对某个频率分量进行相位偏移。这就可以用复数来实现。
假设我们有一个正弦波信号，其频率为 100 Hz，采样率为 1000 Hz。我们希望将它的相位向前移动 90 度（即 π/2 弧度）。
#include <iostream>
#include <complex>
#include <vector>
#include <cmath>
int main() {
const int N = 100; // 采样点数
const double fs = 1000.0; // 采样频率
const double f = 100.0; // 信号频率
const double phase_shift = M_PI / 2.0; // 90 度相位偏移
std::vector<std::complex<double>> signal(N);
std::vector<std::complex<double>> shifted_signal(N);
// 生成原始信号：sin(2πft)
for (int n = 0; n < N; ++n) {
double t = n / fs;
signal[n] = std::complex<double>(0.0, 1.0) * std::sin(2.0 * M_PI * f * t);
}
// 用复数相位旋转实现相位偏移
std::complex<double> phase_factor = std::polar(1.0, phase_shift); // e^(iθ)
for (int n = 0; n < N; ++n) {
shifted_signal[n] = signal[n] * phase_factor;
}
// 输出前几个点验证
std::cout << "原始信号 (前 5 个):" << std::endl;
for (int i = 0; i < 5; ++i) {
std::cout << "signal[" << i << "] = " << signal[i] << std::endl;
}
std::cout << "\n相位偏移后 (前 5 个):" << std::endl;
for (int i = 0; i < 5; ++i) {
std::cout << "shifted[" << i << "] = " << shifted_signal[i] << std::endl;
}
return 0;
}
✨ 亮点：
std::polar(1.0, phase_shift)生成一个单位模、指定幅角的复数，相当于旋转因子。用它乘原信号，就完成了相位偏移。
总结与建议
C++ 标准库 <complex> 是一个功能强大且易于使用的工具，它让复数运算变得简洁、安全、高效。无论你是做科学计算、工程模拟，还是信号处理，掌握它都能显著提升开发效率。
建议你：
- 优先使用
std::complex<double>，精度足够且性能好 - 利用
std::abs和std::arg快速获取复数的模和幅角 - 使用
std::polar构造旋转因子，简化相位处理 - 不要手动实现复数运算，
<complex>已经帮你写好了所有边界情况
复数不是“虚幻”的，它在现实世界中有着广泛的应用。而 C++ 的 <complex>，就是连接数学与编程的桥梁。
当你在代码中写下 std::complex<double> z(1.0, 2.0); 时，你不仅是在写一行代码，更是在与数学之美对话。