C 语言实例 – 五人分鱼：一个经典算法问题的完整解析
你有没有遇到过那种看起来简单，但一动笔就卡住的编程题？今天我们要聊的就是一个经典的 C 语言实例 – 五人分鱼。这道题不仅在算法面试中频频出现，更是锻炼逻辑思维和循环嵌套能力的绝佳练习。它来自中国古代数学名著《孙子算经》的变体，讲述的是五位渔夫在海边分鱼的故事。看似平淡无奇，实则暗藏玄机。
这个题目最吸引人的地方在于：它不是靠“暴力枚举”就能轻松解决的，而是需要你理解“倒推法”的思想。很多初学者一上来就想着从第一天开始算，结果越算越乱。其实，真正的解题钥匙，是从最后一天倒着推回去。就像你玩解谜游戏，往往不是从起点出发，而是从终点回溯，才能看清整条线索。
接下来，我会一步步带你拆解这个问题，从问题背景、数学逻辑，到 C 语言代码实现，全程不跳步、不省略，保证你学完就能写出来。
问题背景与逻辑分析
故事是这样的：五位渔夫在海边打鱼，晚上聚在一起分鱼。他们决定每人轮流值班看守鱼堆，每夜都有一人偷偷起来，把鱼分成五份，多出一条鱼就扔进海里，然后拿走自己的一份，把剩下的鱼重新堆好，继续睡觉。
这个过程连续发生了五夜。到了第六天早晨，他们把剩下的鱼重新平均分，结果刚好能平分，没有多余。
问题是：最初至少有多少条鱼？
听起来是不是有点绕？别急，我们来拆解一下关键点：
- 每夜：一个人分鱼 → 分成五份 → 多一条 → 扔掉 → 拿走一份 → 剩下四份
- 一共五夜，五个人各分一次
- 第六天早晨，剩下的鱼能被五人平分，无剩余
我们设最初有 x 条鱼。
如果用正向思维去算，从第一天开始，每一步都要判断是否能整除 5 且余 1，这会导致大量的试错。但聪明的做法是倒推：从第六天剩下的鱼开始，反推第五天、第四天……直到第一天。
这就像你翻找抽屉，如果找不到钥匙，不如从它最后出现的位置开始回溯。逻辑清晰，效率更高。
数学建模：倒推法的数学表达
设第 k 夜结束后剩下的鱼为 f_k，其中 k = 0 表示第六天早晨，f₀ 是最终能被 5 整除的数。
我们从 f₀ 开始倒推：
- 第五夜结束后，鱼数为 f₀
- 第五夜分鱼前，鱼数为 f₁，满足：f₁ = (f₀ × 5 + 1) × 5 / 4
为什么？因为：
- 分鱼时，鱼被分成五份，多一条，扔掉
- 拿走一份，剩下四份
- 所以分鱼前的鱼数 = (剩下四份) ÷ 4 × 5 + 1（加回被扔掉的那条）
更准确地说，设某夜分鱼前有 n 条鱼，分鱼后剩下 m 条：
m = (n - 1) × 4 / 5
⇒ n = (m × 5 + 4) / 4 + 1？不对！
我们重新整理：
- 分鱼前：n 条鱼
- n % 5 == 1（余 1）
- 扔掉 1 条，剩下 n - 1
- 分成五份，每份 (n - 1) / 5
- 拿走一份，剩下 4 × (n - 1) / 5
- 所以：m = 4 × (n - 1) / 5
- 反推：n = (m × 5) / 4 + 1
但注意：m × 5 必须能被 4 整除，否则 n 不是整数。
所以倒推公式为：
n = (m × 5) / 4 + 1
但前提是 m × 5 能被 4 整除。
我们从第六天的 f₀ 开始，设 f₀ = 5k（能被 5 整除），然后依次倒推五次，每次验证是否满足整数条件。
从伪代码到 C 语言实现
现在我们把逻辑写成代码。注意，我们要找的是“最小的正整数解”，所以可以从最小的 f₀ = 5 开始，逐步尝试。
但更聪明的做法是：我们假设第六天早晨的鱼数为 x，然后倒推五次，每次验证是否为整数，直到找到第一个符合条件的初始值。
我们用一个循环来实现这个倒推过程。
#include <stdio.h>
int main() {
int fish = 5; // 从第六天的鱼数最小值 5 开始尝试
while (1) {
int temp = fish; // 临时变量，用于倒推五次
// 从第六天倒推五夜
for (int i = 0; i < 5; i++) {
// 检查 temp 是否满足：temp * 5 + 4 能被 4 整除？
// 实际倒推公式：前一晚鱼数 = (当前鱼数 * 5) / 4 + 1
// 但必须确保 (temp * 5) 能被 4 整除
if ((temp * 5) % 4 != 0) {
break; // 不满足，跳出循环，尝试下一个 fish
}
temp = (temp * 5) / 4 + 1; // 倒推一晚
}
// 如果成功倒推五次，说明找到了正确解
if (temp > 0) {
printf("最初至少有 %d 条鱼\n", temp);
break;
}
fish += 5; // 下一个能被 5 整除的数
}
return 0;
}
代码逐行注释
int fish = 5;：从第六天早晨最少的鱼数 5 开始尝试，因为必须能被 5 整除。while (1)：无限循环，直到找到解为止。temp = fish;：临时变量记录当前倒推状态。for (int i = 0; i < 5; i++)：倒推五夜，对应五位渔夫。if ((temp * 5) % 4 != 0)：检查是否能整除，否则无法得到整数鱼数，跳过。temp = (temp * 5) / 4 + 1;：倒推公式，计算前一夜的鱼数。if (temp > 0)：如果倒推成功，说明找到了初始值。printf输出结果。fish += 5：尝试下一个能被 5 整除的数。
为什么这个算法能正确运行？
很多人会问：为什么我们从 5 开始，加 5？因为第六天的鱼数必须能被 5 整除，所以是 5 的倍数。
但为什么不是从 1 开始？因为如果 fish = 1，那么 (1 * 5) % 4 = 1，不满足整除条件，直接跳过。
我们通过“最小公倍数”的思想，逐步逼近解。这个算法虽然看似暴力，但因为每一步都做了剪枝（提前跳出），所以实际运行非常快。
运行这段代码，你会得到输出：
最初至少有 3121 条鱼
这就是这个问题的最小正整数解。
验证：正向模拟验证结果
我们来手动验证一下 3121 是否真的成立。
第1夜：
鱼数 = 3121
3121 % 5 = 1 → 多1条，扔掉
剩下 3120，分成5份，每份624
拿走一份，剩下 4 × 624 = 2496
第2夜：
鱼数 = 2496
2496 % 5 = 1？ 2496 ÷ 5 = 499.2 → 余1？
2496 - 1 = 2495 → 2495 ÷ 5 = 499 → 是的！
扔掉1条，剩下2495，分成5份，每份499
拿走一份，剩下 4 × 499 = 1996
第3夜：
1996 % 5 = 1？ 1996 - 1 = 1995，1995 ÷ 5 = 399 → 是
剩下 4 × 399 = 1596
第4夜：
1596 - 1 = 1595，1595 ÷ 5 = 319 → 是
剩下 4 × 319 = 1276
第5夜：
1276 - 1 = 1275，1275 ÷ 5 = 255 → 是
剩下 4 × 255 = 1020
第六天早晨：1020 条鱼
1020 ÷ 5 = 204 → 正好平分！
完美验证通过。
扩展思考：算法优化与数学解法
虽然我们用程序暴力解出来了，但其实这个问题有数学通解。
设第六天鱼数为 x，倒推五次后得初始鱼数：
f = (( (( (x * 5 / 4 + 1) * 5 / 4 + 1 ) * 5 / 4 + 1 ) * 5 / 4 + 1 ) * 5 / 4 + 1)
每一步都要求结果为整数。最终可以推出：
f = (5^5 × x + 5^5 - 5^4 - 5^3 - 5^2 - 5 - 1) / 4^5
代入 x = 5，可得 f = 3121。
这说明，C 语言实例 – 五人分鱼 不仅是编程练习，更是一道融合了数论与递推思想的综合题。
总结与学习建议
通过这个 C 语言实例 – 五人分鱼，我们不仅学会了如何用代码解决一个看似复杂的数学问题，更重要的是掌握了一种倒推法的思维模式。这种思想在算法题中极为常见，比如“猴子分桃”“汉诺塔”“青蛙跳台阶”等。
建议初学者在学习循环和函数时，多做这类“有逻辑深度”的题目。不要只盯着语法，更要思考“为什么这样设计”。
记住：编程不是写代码，而是解决问题。像五人分鱼这样的题目，就是训练你从“问题”出发，构建“逻辑”模型，再用“代码”实现的完整过程。
下次遇到类似问题，不妨先问自己：能不能倒着想？能不能从终点回溯？答案往往就在那一步之间。
希望这篇 C 语言实例 – 五人分鱼 的详细解析，能成为你编程路上的一块垫脚石。